原题文字
已知抛物线 y = (3/a²)x(2a-x)（a>0）。
（1）求抛物线顶点的纵坐标；
（2）点 A(x₁, 3/2)，B(x₂, 3/2)（x₁<x₂）都在抛物线上。
① 求 x₁/a 的值；
② 设 a 为正整数，线段 AB 上横坐标为整数的点的个数为 m，请比较 m 与 2a-2 的大小，并说明理由。
Original Question · 校对文字版
安徽中考数学
压轴题
三种解法精读
压轴题难度指数133.26同地区历史压轴题平均：123.90
高于平均 9.36
知识结构
50100结构基准150
基础二次函数解析式、顶点与对称轴、整数点计数
核心抛物线水平截线、根的对称性、闭区间整数个数
能力参数讨论、取整分类、结论比较
校对结论
核验结论：（1）顶点纵坐标为 3；（2）① x₁/a=1-√2/2；② 当 a=1、2、3 时，m>2a-2；当 a≥4 时，m<2a-2，不存在相等情形。
三种具体解法
01
初中知识 · 标准评分路线
配方＋对称格点计数
- 配方：y=-(3/a²)(x-a)²+3，所以顶点纵坐标为 3。
- 令 y=3/2，得 x²-2ax+a²/2=0，所以 x₁=a-a/√2，x₂=a+a/√2，从而 x₁/a=1-√2/2。
- 因 a 为正整数，端点均为无理数。令整数点横坐标 x=a+j，其中 j∈Z，则 |j|<a/√2。
- 故 m=2⌊a/√2⌋+1。当 a=1,2,3 时，⌊a/√2⌋=a-1，所以 m=2a-1>2a-2。
- 当 a≥4 时，a/√2<a-1，故 ⌊a/√2⌋≤a-2，所以 m≤2a-3<2a-2。
02
初中知识 · 独立替代路线
端点取整法
- 由对称轴 x=a，两交点满足 x₁+x₂=2a。
- 线段上整数点数为 m=⌊x₂⌋-⌈x₁⌉+1。因 x₁ 不是整数且 x₂=2a-x₁，有 ⌊x₂⌋=2a-⌈x₁⌉。
- 因此 m=2a-2⌈x₁⌉+1。
- 当 a=1,2,3 时，0<x₁<1，故 ⌈x₁⌉=1，得到 m=2a-1>2a-2。
- 当 a≥4 时，x₁=a(1-1/√2)>1，故 ⌈x₁⌉≥2，得到 m≤2a-3<2a-2。
03
拓展知识 · 标注学习阶段
归一化＋取整函数
- 令 t=x/a，水平截线的两个无量纲端点为 1±1/√2。
- 原横坐标的整数点相当于步长为 1/a 的格点落入该区间。
- 用取整函数统一计数：m=⌊a(1+1/√2)⌋-⌈a(1-1/√2)⌉+1。
- 利用整数 2a 和恒等式 ⌊2a-r⌋=2a-⌈r⌉，可化为 m=2⌊a/√2⌋+1。
- 再按 a≤3 与 a≥4 比较，即得到与前两法完全相同的结论。
取整函数常用于高中竞赛或大学离散数学表达，不作为初中生必须掌握方法。