Original Question · 校对文字版

山东中考数学
压轴题
三种解法精读

2026真题第23题12分60°旋转构造＋垂足关系
压轴题难度指数123.71同地区历史压轴题平均：119.26
高于平均 4.45

原题文字

在△ABC 中，AB=AC，∠BAC=120°。

【观察与发现】

（1）如图1，将线段 AC 绕点 A 顺时针旋转60°得到线段 AD，点 D 与点 C 是对应点。点 E、F 分别在边 AB、AC 上，AE=CF，连接 DE、DF。求证：DE=DF。

【思考与探究】

（2）如图2，过点 A 作 AH⊥AC 交 BC 于点 H。点 E、F 分别在边 AB、AC 上，CF=2AE，连接 EF、HE、HF。猜想线段 EF 与 HE 的数量关系，并说明理由。

【拓展与延伸】

（3）如图3，在（2）的条件下，延长 FE 至点 G，使 EG=FE，连接 GA、GH。若 AB=6，AG=2√7，求线段 AE 的长度。

题图题图题图

知识结构

50100结构基准150
基础等腰三角形、旋转、全等三角形、勾股定理
核心60°旋转构造、垂足关系、等长与倍分关系
能力猜想验证、辅助线迁移、根式长度求解

校对结论

三种解法已补充｜两个可行值均已验算

三种具体解法

01
初中知识 · 标准评分路线

旋转构造＋全等相似

  1. 设 AE=x，因为 AB=AC=6 且 CF=2AE，所以 AF=6-2x，并有 0<x<3。
  2. 第（1）问将 AC 绕 A 旋转60°得到 AD。利用 AD=AC、AE=CF 和夹角关系，可构造全等三角形，从而证明 DE=DF。
  3. 第（2）问在 △AEF 中使用余弦关系（或作垂线后用勾股定理），可得 EF²=3(x²-6x+12)。
  4. 由 AH⊥AC 及120°等腰三角形的特殊角关系，可得 HE²=x²-6x+12。
  5. 所以 EF²=3HE²，长度均为正，得到 EF=√3·HE。
  6. 第（3）问因 F、E、G 共线且 EG=EF，点 E 是 FG 的中点。将 AG² 用 x 表示，得到 AG²=4(x²-3x+9)。
  7. 代入 AG=2√7 得 x²-3x+2=0，所以 AE=x=1 或 2；两值都满足 0<x<3。
02
初中知识 · 独立替代路线

对称坐标＋距离公式

  1. 建立对称坐标系：取 A(0,0)、B(-3√3,-3)、C(3√3,-3)，则 AB=AC=6、∠BAC=120°。
  2. 由 AH⊥AC 且 H 在 BC 上，求得 H(-√3,-3)。
  3. 设 AE=x，则 E(-√3x/2,-x/2)；又 AF=6-2x，所以可写出点 F 的坐标。
  4. 用距离公式分别计算，得到 EF²=3(x²-6x+12)、HE²=x²-6x+12，故 EF=√3HE。
  5. 点 G=2E-F。代入坐标得 AG²=4(x²-3x+9)，再由 AG²=28 解得 x=1 或 2。
03
拓展知识 · 标注学习阶段

复数旋转法

  1. 把从 A 指向 B、C 的两个单位向量记为 u、v，则 u·v=cos120°=-1/2。
  2. 有 E=xu，F=(6-2x)v。
  3. 利用点积展开 |F-E|²，得到 EF²=3(x²-6x+12)。
  4. 同样把 H 写成向量坐标，可得 HE²=x²-6x+12。
  5. 再用 G=2E-F 与 |G|²=28，得到 (x-1)(x-2)=0，所以 AE=1 或 2。
复数在高中阶段学习；用复数处理平面旋转属于高中拓展或竞赛方法，不作为初中生必须掌握方法。
山东 2026 中考数学第23题模型难度为结构估算，非官方通过率