Original Question · 校对文字版

成都中考数学
压轴题
三种解法精读

2026真题第26题12分抛物线弦＋区间端点最值
压轴题难度指数135.89同地区历史压轴题平均：124.23
高于平均 11.66

原题文字

如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=kx+2（k>0）与抛物线 y=x² 相交于 A、B 两点，C、D 两点在抛物线上，且 CD∥AB。

（1）若点 A 的坐标为（-1，1），求 k 的值和点 B 的坐标；

（2）在（1）的条件下，记 C、D 两点的横坐标分别为 m、n（m<n），当 m≤x≤n 时，函数 y=(x-h)² 总在 x=n 处取得最大值，求 h 的取值范围；

（3）若 AB=2CD，直线 AC、BD 的交点 E 恰好落在 x 轴正半轴上，求点 E 的坐标和 k 的值。

题图

知识结构

50100结构基准150
基础一次函数、二次函数交点、平行线斜率、相似三角形
核心抛物线弦、区间端点最值、位似中心
能力参数范围、存在性判断、方程组消元

校对结论

核验结论：（1）k=1，B(2,4)；（2）h≤1/2；（3）E(√2,0)，k=2√2。

三种具体解法

01
初中知识 · 标准评分路线

联立方程＋位似中点

  1. 把 A(-1,1) 代入 y=kx+2，得 k=1。联立 x²=x+2，另一根为 2，故 B(2,4)。
  2. 因 CD∥AB，弦CD的斜率为1，即 (n²-m²)/(n-m)=m+n=1。
  3. 二次函数 (x-h)² 在闭区间上的最大值必在端点。要求 x=n 也是最大值，即 (n-h)²≥(m-h)²。化简得 (n-m)(1-2h)≥0，因 n>m，所以 h≤1/2。
  4. 第（3）问设 E(e,0)，A、B横坐标为 x₁<x₂。由相似三角形 △ECD∽△EAB 且 AB=2CD，C、D分别是EA、EB的中点。
  5. C在抛物线上给出 e²+2ex₁-x₁²=0；D同理给出 e²+2ex₂-x₂²=0。两式相减并用 x₁≠x₂，得 2e=x₁+x₂=k。
  6. 又 x₁x₂=-2。将 k=2e 代回两式之和，得 e²=2。因E在x轴正半轴，e=√2，故 E(√2,0)，k=2√2。
02
初中知识 · 独立替代路线

韦达定理＋根式分支

  1. 前两问可用韦达定理：直线与抛物线交点横坐标满足 x²-kx-2=0；平行弦横坐标和等于斜率。
  2. 第（2）问也可比较点m、n到对称轴 x=h 的距离。因 m+n=1，区间中点为 1/2；要使右端点离h不近于左端点，必须且只需 h≤1/2。
  3. 第（3）问仍设 E(e,0)。位似比为1/2，所以 C((x₁+e)/2,x₁²/2)。
  4. C在抛物线上，故 (x₁+e)²=2x₁²。因 x₁<0、e>0，取符合图形位置的分支，得 e=-(1+√2)x₁。
  5. 同理对正根 x₂>0，得 e=(√2-1)x₂。两式相乘并用 x₁x₂=-2，得到 e²=2。
  6. 所以 e=√2；再求 x₁=e(1-√2)，x₂=e(1+√2)，两根之和 k=2e=2√2。
03
拓展知识 · 标注学习阶段

仿射位似映射

  1. 把以E为中心、比例为1/2的位似写成仿射映射 H_E(X)=(X+E)/2。它把A、B分别映到C、D。
  2. 设抛物线上一点 X=(x,x²)。其像为 H_E(X)=((x+e)/2,x²/2)。像仍在抛物线上，当且仅当 x²/2=((x+e)/2)²。
  3. 化简为 x²-2ex-e²=0，两个不动交点参数为 x=e(1±√2)。
  4. 而原直线与抛物线交点横坐标乘积为 -2，故 e²(1-2)=-e²=-2，得到 e=√2。
  5. 两个参数之和为 2e，即直线斜率参数 k=2√2。该表示同时验证平行性与长度比。
仿射变换通常在大学解析几何或高等几何中系统学习，不作为初中生必须掌握方法。
成都 2026 中考数学第26题模型难度为结构估算，非官方通过率