Original Question · 校对文字版

江西中考数学
压轴题
三种解法精读

2026真题第23题12分旋转重叠面积＋垂足构造

压轴题难度指数131.60同地区历史压轴题平均：118.34

高于平均 13.26

原题文字

23．综合与实践

【问题背景】有一道例题如下：如图，正方形 ABCD 的对角线相交于点 O，点 O 又是正方形 A₁B₁C₁O 的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等。无论正方形 A₁B₁C₁O 绕点 O 怎样转动，两个正方形重叠部分的面积总等于一个正方形面积的 1/4。想一想，这是为什么？（此问题不需要作答）

九年级数学兴趣小组对上面的问题进行了拓展探究：正方形 ABCD 的对角线交于点 O，等腰直角三角形 EPF 的直角顶点 P 在线段 OC 上（点 P 不与点 C 重合），PA/PC=k（k 为常数）。设△EPF 的边 PE、PF 分别与 AB、BC 相交于点 M、N。

【特例证明】（1）如图1，当点 P 与点 O 重合时：① k 的值为________；② 求证：PM=PN；

【类比探究】（2）如图2，判断 PM 与 PN 的数量关系（用含 k 的式子表示），并说明理由；

【拓展运用】（3）如图3，菱形 ABCD 的对角线交于点 O，∠DAB=60°。将等腰直角△EPF 变为等边△EPF，顶点 P 在线段 OC 上，PE、PF 分别交边 AB、BC 于点 M、N。延长 NP 交边 CD 于点 G，连接 BP。当 ∠BPN=30°，且 GN/PN - PM/PN = PA/PC = k 时，求 k 的值。

知识结构

50100结构基准150

基础正方形、等腰直角三角形、全等三角形、相似与菱形

核心旋转重叠面积、垂足构造、等边三角形比例链

能力类比迁移、一般化参数k、复合比例求值

校对结论

原题符号已校正｜三种解法已补充

三种具体解法

初中知识 · 标准评分路线

全等相似＋比例链

第（1）问中，点 P 与正方形中心 O 重合。设正方形边长为 a，则 PA=a/√2、PC=a/√2，所以 k=PA/PC=1。
由于 PE⊥PF，且正方形的两边 AB⊥BC，通过角度转换可证 △PAM≌△PBN，从而 PM=PN。
第（2）问保留同样的全等构造，把中心位置变为一般点 P。由相似三角形得到 PM/PN=PA/PC=k，即 PM=k·PN。
第（3）问在菱形中连接 BP。利用 ∠DAB=60°、等边三角形的60°以及 ∠BPN=30°，连续作相似三角形，可得 PM/PN=k。
延长 NP 到 G 后，同一组30°、60°角关系给出 GN/PN=3k/(2k-1)。
原题条件是减号：GN/PN-PM/PN=k。代入上面两个比值得 3k/(2k-1)-k=k。
因 k>0，解得 3=2(2k-1)，所以 k=5/4。

初中知识 · 独立替代路线

坐标交点参数法

设菱形边长为1，取 A(0,0)、B(1,0)、D(1/2,√3/2)、C(3/2,√3/2)。
设 P 在线段 OC 上的位置参数为 s，即 P=O+s(C-O)。计算距离得 k=PA/PC=(1+s)/(1-s)。
根据 ∠BPN=30° 写出直线 PN 的方向，再将该方向旋转60°得到直线 PM 的方向。
分别与 BC、AB、CD 联立求交点 N、M、G，化简得到 PM/PN=k 和 GN/PN=3k/(2k-1)。
代入 GN/PN-PM/PN=k，解得 k=5/4；反代得到 s=1/9，确实满足 0<s<1。

拓展知识 · 标注学习阶段

旋转矩阵＋向量参数

用向量表示菱形：取边向量夹角为60°，点 P 用对角线方向参数表示。
等边三角形意味着向量 PF 可由 PE 乘一个60°旋转矩阵得到。
把 M、N、G 分别写成三条边上的参数点，并利用共线条件消去这些参数。
消元后只保留无量纲比值 PM/PN=k 与 GN/PN=3k/(2k-1)。
最终方程仍是 3k/(2k-1)-k=k，唯一符合几何范围的解为 k=5/4。

平面向量通常在高中一年级学习；旋转矩阵通常在大学线性代数学习，不作为初中生必须掌握方法。

江西中考数学压轴题三种解法精读