Original Question · 校对文字版

湖北中考数学
压轴题
三种解法精读

2026真题第24题12分动点面积函数＋抛物线平移
压轴题难度指数132.32同地区历史压轴题平均：123.70
高于平均 8.62

原题文字

如图，抛物线 y=ax²-2x-3（a≠0）与 x 轴交于点 A 和点 B(3,0)，与 y 轴相交于点 C，D 是抛物线的顶点。

（1）求 a 的值和点 D 的坐标；

（2）如图1，连接 BD，E 为线段 BD 上的一个动点（点 E 与点 B 不重合），过点 E 作 x 轴的垂线，垂足为 F，连接 CE，求四边形 OCEF 面积的最大值；

（3）如图2，将抛物线 y=ax²-2x-3 平移，平移后的抛物线经过点 M(1,1)，且与 y 轴相交于点 N(0,t)，顶点为 D′。记点 D′ 与点 D 的水平距离为 d₁，铅垂距离为 d₂，令 d=d₁+d₂。

① 求 d 关于 t 的函数解析式；

② 若对于 d 的每一个值都有4个点 N 与之对应，请直接写出 d 的取值范围。

题图

知识结构

50100结构基准150
基础二次函数解析式、顶点式、三角形/梯形面积、绝对值
核心动点面积函数、抛物线平移、曼哈顿距离型参数函数
能力分段函数、参数范围、反向计数

校对结论

三种解法已补充｜关键数值已交叉验算

三种具体解法

01
初中知识 · 标准评分路线

坐标参数＋面积二次函数

  1. 把 B(3,0) 代入 y=ax²-2x-3，得 9a-9=0，所以 a=1。
  2. 配方：y=x²-2x-3=(x-1)²-4，故顶点 D(1,-4)；另一个横轴交点为 A(-1,0)，且 C(0,-3)。
  3. 第（2）问先求直线 BD：斜率为2，所以 y=2x-6。设 E(t,2t-6)，其中 1≤t<3，则 F(t,0)。
  4. 用“梯形加三角形”或鞋带公式得 S四边形OCEF=-t²+(9/2)t=81/16-(t-9/4)²。
  5. 因此当 t=9/4 时，面积最大值为 81/16。
  6. 第（3）问设平移后的抛物线为 y=(x-h)²+k。由 N(0,t)、M(1,1) 得 t=h²+k 和 1=(1-h)²+k，相减得 h=t/2。
  7. 顶点距离函数化为 d=|t-2|/2+|5-(t-2)²/4|。画分段图像并数水平线交点，可得恰有4个点 N 时，d∈(√5,5)∪{21/4}。
02
初中知识 · 独立替代路线

直线方程＋分段图像

  1. 第（1）问用根与系数关系：已知一个根为3，代入求 a=1；再由对称轴 x=1 得顶点纵坐标为 -4。
  2. 第（2）问令 OF=t。由 E 在 BD 上得 EF=6-2t，而 OC=3。
  3. 把四边形分成 △OCE 与 △OEF，得到 S=3t/2+t(6-2t)/2=-t²+9t/2。
  4. 配方后直接读出最大值 81/16。
  5. 第（3）问令 u=t-2，则 d=|u|/2+|5-u²/4|。函数关于 u=0 对称，只需研究 r=|u|≥0。
  6. 在 0≤r≤2√5 上，d=5+r/2-r²/4；在 r≥2√5 上，d=r²/4+r/2-5。每个正根 r 对应两个 t，据此数根即得最终范围。
03
拓展知识 · 标注学习阶段

导数＋L1距离分析

  1. 面积函数 S(t)=-t²+9t/2 的导数为 S′(t)=-2t+9/2。
  2. 令 S′(t)=0 得 t=9/4，并且二阶导数为负，所以这是最大点。
  3. 平移问题中，顶点 D′(t/2,,t-t²/4)，原顶点为 D(1,-4)。
  4. 因此 d 是两个顶点横纵坐标差的绝对值之和，也就是 L1 距离。
  5. 将 d(t) 分段后研究水平线交点数：区间 (√5,5) 各有4个交点，峰值 21/4 也有4个交点，其他值不满足。
导数通常在高中二年级学习；L1距离在大学数学与数据科学中常见，不作为初中生必须掌握方法。
湖北 2026 中考数学第24题模型难度为结构估算，非官方通过率