Original Question · 校对文字版

重庆中考数学
压轴题
三种解法精读

2026真题第25题10分等腰直角外构＋旋转对应

压轴题难度指数127.52同地区历史压轴题平均：121.40

高于平均 6.12

原题文字

如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，BC>AC，以 BC 为斜边在 BC 上方作等腰直角三角形 BCD。

（1）如图1，若 ∠ABC=30°，BD=3，求 AC 的长度；

（2）如图2，连接 AD，将线段 DA 绕点 D 顺时针旋转90°得到线段 DE，延长 ED 交 BC 于点 F，连接 CE。点 G、H 分别是 AB、CE 的中点，连接 DG、GH。求证：BC-AC=√2GH；

（3）如图3，BC=12，AC=3，点 P 在直线 BC 上，连接 DP，将线段 DP 绕点 D 逆时针旋转90°得到线段 DQ，连接 AQ。点 M 在直线 AB 上，连接 DM、QM，将△DMQ 沿直线 DM 翻折至△ABC 所在平面内得到△DMN，连接 CN。当 AQ+DQ 取得最小值时，连接 CQ、NQ，请直接写出△CQN 面积的最大值。

知识结构

50100结构基准150

基础直角三角形、30°特殊角、旋转、全等与翻折

核心等腰直角外构、旋转对应、反射点与面积最值

能力多次几何变换、最短值条件、面积最大值

校对结论

三种解法已补充｜最短值与面积已交叉验算

三种具体解法

初中知识 · 标准评分路线

特殊角＋旋转翻折

第（1）问中，△BCD 是以 BC 为斜边的等腰直角三角形，且 BD=3，所以 BC=3√2。
在 Rt△ABC 中，∠B=30°，30°角所对直角边等于斜边的一半，所以 AC=BC/2=3√2/2。
第（2）问由90°旋转得 DA=DE、∠ADE=90°；结合等腰直角三角形 BCD 的45°关系，构造全等三角形，把 BC-AC 转化为一条对应线段。
点 G、H 分别是 AB、CE 的中点，使用三角形中位线把上述对应线段缩小为一半，再利用45°等腰直角三角形的斜边关系，得到 BC-AC=√2GH。
第（3）问建立坐标：C(0,0)、B(12,0)、A(0,3)、D(6,6)。设 P(p,0)，逆时针旋转90°后 Q(12,p)。
把 D 关于直线 x=12 对称到 D′(18,6)，则 AQ+DQ=AQ+QD′。直线 AD′ 与 x=12 交于 Q(12,5)，此时和最小。
翻折使 DQ=DN=√37。当折痕 DM 转动时，点 N 在以 D 为圆心、√37 为半径的圆上。面积 S△CQN=|12y_N-5x_N|/2，其最大值为 (42+13√37)/2。

初中知识 · 独立替代路线

坐标旋转＋面积参数

第（1）问直接用特殊三角形：BC=√2BD=3√2，再得 AC=BC·sin30°=3√2/2。
第（2）问把旋转后的点 E 写成点 A 绕 D 旋转90°的坐标，分别求 AB、CE 的中点 G、H。
两中点坐标相减后，GH²=(BC-AC)²/2，所以 BC-AC=√2GH。
第（3）问旋转坐标公式给出 Q(12,p)。函数 AQ+DQ=√[144+(p-3)²]+√[36+(p-6)²]。
利用反射法或平方后比较，最小点为 p=5。
设 N=(x,y)，翻折保证 (x-6)²+(y-6)²=37。将面积写成 |12y-5x|/2，用“圆上点到直线的最远距离”得到最大值 (42+13√37)/2。

拓展知识 · 标注学习阶段

复数旋转与反射

把平面点写成复数。90°逆时针旋转相当于乘以 i，所以由 D(6+6i)、P=p 得 Q=12+pi。
最短和问题转化为点 Q 在直线 Re(z)=12 上连接 A 与 D 的反射点，得到 Q=12+5i。
翻折是关于过 D 的直线的复数反射，因此 |N-D|=|Q-D|=√37。
三角形面积的两倍是向量叉积绝对值，即 2S=|Im(conj(Q)N)|=|12y_N-5x_N|。
在线性函数作用于圆时，最大值等于圆心处函数值加“半径×系数向量长度”，即 42+√37·13，所以面积最大值为 (42+13√37)/2。

复数在高中阶段学习；复数反射和向量叉积属于高中拓展或大学解析几何方法，不作为初中生必须掌握方法。

重庆中考数学压轴题三种解法精读