Original Question · 校对文字版

陕西中考数学
压轴题
三种解法精读

2026真题第26题12分折叠对应点＋点到直线距离

压轴题难度指数124.38同地区历史压轴题平均：120.58

高于平均 3.80

原题文字

26．（本题满分12分）

问题发现：

（1）如图1，在△ABC 中，AB=AC，AD⊥BC 于点 D，AD=4，BC=6。求△ABC 的面积；

问题探究：

（2）如图2，在正方形 ABCD 中，AB=8，E、F 分别是边 BC、AD 上的两点，将正方形 ABCD 沿 EF 折叠，点 C 恰好落在边 AB 上的中点 G 处，求 EF 的长度；

问题解决：

（3）如图3，在矩形 ABCD 中，E、F 分别是边 AB、BC 上的两点，△BEF 沿 EF 折叠，点 B 恰好落在对角线 BD 上的点 P 处；M、N 分别是边 AD、BC 上的两点，四边形 DMNC 沿 MN 折叠，点 D 恰好也落在对角线 BD 上的点 P 处。已知 AB=30米，BC=40米，求四边形 AEPM 面积的最大值。

知识结构

50100结构基准150

基础等腰三角形面积、正方形与矩形、轴对称折叠

核心折叠对应点、点到直线距离、二次函数面积最值

能力从特殊到一般、双重折叠约束、面积优化

校对结论

三种解法已补充｜最大面积已代数复核

三种具体解法

初中知识 · 标准评分路线

折叠等距＋面积函数

第（1）问直接使用三角形面积公式：S△ABC=BC·AD/2=6×4÷2=12。
第（2）问设正方形边长为8，取 A(0,0)、B(8,0)、C(8,8)、D(0,8)，则边 AB 的中点 G(4,0)。
折叠把 C 映到 G，所以折痕 EF 是线段 CG 的垂直平分线。它与 BC、AD 的交点分别为 E(8,3)、F(0,7)。
因此 EF=√[8²+(7-3)²]=4√5。
第（3）问取 B(0,0)、A(0,30)、C(40,0)、D(40,30)，设 P 在 BD 上且 BP/BD=t，则 P(40t,30t)。
折痕 EF 是 BP 的垂直平分线，折痕 MN 是 DP 的垂直平分线。由等距条件求得 E(0,125t/3)、M((35+125t)/4,30)，并由 N 在线段 BC 上得到 0≤t≤7/25。
用鞋带公式或分割面积得到 S四边形AEPM=-25(25t-21)(25t+3)/12。该式在允许区间内递增，所以当 t=7/25 时最大，最大面积为 875/3平方米。

初中知识 · 独立替代路线

坐标等距方程

第（2）问可不设完整坐标：连接 CG，折痕上的点到 C、G 距离相等。
分别在直角三角形中列 EC=EG、FC=FG，可求出边上分段 BE=3、AF=7，进而由勾股定理得 EF=4√5。
第（3）问令 BP=50t，则 DP=50(1-t)。折叠性质给出 BE=EP、DM=MP。
利用 △BDP 与矩形边的比例关系，把 AE、AM 都表示成 t 的一次式。
再把四边形 AEPM 分成两个三角形，化简为关于 t 的二次函数。
由点 N 必须在线段 BC 上确定 t≤7/25；二次函数顶点不在该区间内，所以比较端点，最大面积为 875/3。

拓展知识 · 标注学习阶段

反射矩阵＋导数优化

把折叠看成反射：折痕是原点与对应点连线的垂直平分线。
点 P=(40t,30t)；由反射等距方程，折痕 EF 为 40x+30y=1250t。
同理，折痕 MN 为 40x+30y=1250(t+1)。
与四条边求交即可得到 E、F、M、N；其中 N 的范围给出 0≤t≤7/25。
面积函数在该区间上的导数恒为正，因此最大值在右端点 t=7/25 取得，结果为 875/3。

矩阵反射通常在大学线性代数学习；导数通常在高中二年级学习，不作为初中生必须掌握方法。

陕西中考数学压轴题三种解法精读